شواهد تجربی به اثبات رساند. یکی از مهم ترین کاربردهای این نظریه در کیهان شناسی است. بنابراین شناخت اولیه ای از نحوه کاربرد نظریه نسبیت عام در کیهان شناسی ضروری به نظر می رسد که در این پایان نامه به آن اشاره شده است . هم چنین مباحثی به صورت خلاصه در مورد کیهان شناسی استاندارد ارائه شده است. کیهان شناسی استاندارد استوار بر سه فرض اصلی بر این امر اشاره دارد که جهان پس از یک انفجار مهیب اولیه ” مهبانگ” در حال گسترش است. با وجود تمام موفقیت های اولیه مدل استاندارد کیهان شناسی، ابهاماتی وجود داشتند که در ابتدا توجیه مناسبی برای آن ها یافت نشده بود. مدل تورمی که برای اولین بار توسط “آلن گوث” مطرح شد تلاشی جسورانه و هوشمندانه برای رفع مشکلات چند گانه ی مدل استاندارد مهبانگ بود. بر اساس سناریوی پیشنهادی “گوث” جهان در مراحل اولیه تحول خود شاهد یک انبساط بسیار سریع از نوع نمایی بوده است. مدل تورمی “گوث” با وجود بدیع بودن، خود دچار ابهاماتی بود که “آندره لینده”، دانشمند روس، با ارائه مدل های تورمی جدید این ابهامات را رفع کرد. مدل “لینده” بر یک انبساط نمایی فوق العاده سریع در لحظات اولیه تحول جهان تاکید دارد. از زمانی که “گوث” اولین مدل تورمی را ارائه داد، مدل های زیادی توسط فیزیک دانان و کیهان شناسان ارائه شده اند. با این وجود مدل هایی ارزشمند خواهند بود که از آزمون مشاهدات رصدی نیز سربلند بیرون آیند و بتوانند پیش بینی های مختلف را در محدوده های زمانی گوناگون برآورده سازند.
در این پژوهش، پس از مطالعه برخی ازمدل های تورمی شناخته شده با جزئیات کافی، با استفاده از داده های رصدی اخیر رصد خانه “بایسپ 2” و ماهواره “پلانک” ، این مدل ها مورد بررسی و بازنگری قرار گرفته اند.
فصل اول
مبانی ریاضی کیهان شناسی استاندارد
1-1 کیهان شناسی
«مطالعه دینامیکی ساختار عالم به عنوان یک کل». این شاید ساده ترین تعریف از کیهان شناسی باشد [1].
در این صورت ستارگان، کهکشان ها و حتی خوشه های کهکشانی به عنوان اجزایی در نظر گرفته می شوند که با مطالعه آنها بتوان به روند کلی تحول عالم پی برد.
اگر بخواهیم در مورد کیهان شناسی مطالعه ای داشته باشیم، شاید بهترین روش ارائه مدل های ریاضی باشد که با شواهد رصدی نیز سازگار باشند. نظریه نسبیت عام آلبرت اینشتین مدلی ریاضی ارائه می دهد که به تجربه ثابت شده است که می تواند به بسیاری از سوالات در مورد کیهان شناسی پاسخ دهد. با توجه به موفقیت های این نظریه و کاربردهای وسیع آن در کیهان شناسی، مطالعه این علم بدون نظریه نسبیت اینشتین غیر ممکن به نظر می رسد.
در این فصل سعی خواهیم کرد با تکیه بر اصل کیهان شناختی به یک مدل ریاضی برسیم که این مدل بتواند توجیه مناسبی برای بسیاری از مشاهدات رصدی در کیهان شناسی باشد.
1-2 اصل کیهان شناختی1
این اصل بر این امر تاکید دارد که جهان ما در مقیاس بسیار بزرگ( گیگا پارسک) دارای دو ویژگی است. همگن بودن وهمسانگرد بودن [1].
همسانگردی 2
به زبان ریاضی همسانگردی یعنی ناوردایی تحت چرخش. یا به عبارت دیگر اگر یک ویژگی همسانگرد باشد با چرخش محورهای مختصات این ویژگی تغییر نخواهد کرد.
همگنی3
به زبان ریاضی می توان گفت که همگنی به معنای ناوردایی تحت انتقال است. یا به عبارت دیگر ویژگی مورد نظر ما با انتقال از یک مختصات به مختصات دیگر تغییر نخواهد کرد.
اما تعبیر همگن بودن و همسانگرد بودن در کیهان شناسی به این معنا است که عالم در مقیاس بسیار بزرگ دارای این ویژگی است که : عالم در تمام نقاط یکسان بنظر می رسد واز هر جهتی که به آن نگاه کنیم این یکسان بودن پابرجا خواهد بود. به عبارت دیگر هیچ جهت خاص و هیچ ناظر خاصی (مرجحی) وجود ندارد.
البته باید توجه داشت که این همگن بودن و همسانگردی به این معنا نیست که ما با یک جهان ایستا و ساکن روبرو هستیم. جهان با گذشت زمان به حرکت وتحول خود ادامه می دهد اما همگنی و همسانگردی خود را هم حفظ می کند .
شواهد رصدی اصل کیهان شناختی را مورد تائید قرار میدهند:
یکی از دلایل مهم برای همسانگردی جهان وجود تابش زمینه کیهانی CMB4 است. پنزیاز5 و ویلسن6 در سال 1965 تابش زمینه کیهانی را کشف کردند [2].
آنها تابشی با دمای 2.7 درجه کلوین را ردیابی کردند که از تمام جهات آسمان ساطع می شد. این تابش با دقت یک درصد همسانگرد است.
برای همگن بودن هم هابل7 با مشاهدات دقیق خود توانست نشان دهد که کهکشان ها با سرعتی زیاد در حال دور شدن از هم هستند و می توان با توجه به قانون معروف هابل این همگنی را در زمان های مختلف ردیابی کرد [3].
1-3 استفاده از تعبیر ریاضی اصل کیهان شناختی برای رسیدن به مدل فریدمن [4] ،[5] .
بردارهای کیلینگ8
متریک g_ab را در نظر می گیریم. اگر بخواهیم ای متریک تحت یک انتقال مانند : x^’a →x^a ناوردا باقی بماند باید داشته باشیم : g_ab (x)=(∂x^’c)/(∂x^a ) (∂x^’d)/(∂x^b ) g_cd (x^’) که البته حالتی بسیار عمومی دارد.
اما اگر تمرکز خود را به یک انتقال بسیار کوچک مختصات معطوف کنیم، یعنی داشته باشیم :
x^i→x^i+ξ^i
که انتقال از نقطه P به نقطهP^’ است. آن گاه می توان نوشت :
g_ik (x_p^l )→g_ik (x_p^l+ξ_p^l )
حال تساوی به صورت زیر را برقرار می کنیم تا شرط ناوردایی را داشته باشیم :
g_mn^’=(∂x^i)/(∂x^’m ) (∂x^k)/(∂x^’n ) g_ik (x_p^l+ξ_p^l)
از آنجا که ξ^i بسیار کوچک است می توان با بسط تیلور و صرف نظر کردن از توان های بالا، معادله بالا را به صورت زیر تقریب زد
(∂x^i)/(∂x^’m ) |_P≅δ_m^i+ξ_(p,m)^i
g_ik(x^l+ξ_p^l)≅g_ik(x^l)+ξ_p^l g_(ik,l)(x_p^l)
g_mn^’ (P^’ )=g_mn (P)+[ξ^l g_(mn,l)+ξ_(,m)^l g_ln+ξ_(,n)^l g_lm ](P)
واضح است برای اینکه در انتقال از P بهP^’ متریک ناوردا باقی بماند باید جمله سمت راست معادله بالا صفر باشد یعنی :
ξ^l g_(mn,l)+ξ_(,m)^l g_ln+ξ_(,n)^l g_lm= 0
صورت دیگر معادله بالا به این شکل خواهد بود :
ξ_(m;n)+ξ_(n;m)=0
دو معادله پایانی به معادلات کیلینگ معروفند و بردارξ نیز بردار کیلینگ نامیده می شود.
اگر در فضا ـ زمانی انتقالی مانند بالا صورت بگیرد و معادله کیلینگ برقرار باشد، می توان گفت که این فضا ـ زمان دارای تقارن9 است.
اگر فضا ـ زمانی بردارهای کیلینگ خود را داشته باشد و معادله بالا را ارضا کند می توان گفت که یک حالت ایزومتری خواهیم داشت.
به عنوان مثال می توان برای مختصات قطبی کروی ، θ,φ معادله کیلینگ را برای ξ^θ وξ^φ نوشت و بردارهای کیلینگ مستقل را بدست آورد.
ds^2=〖dθ〗^2+〖sin〗^2 θdφ^2
ξ^θ=A sin⁡φ+B cos⁡φ ξ^φ=(A cos⁡φ-B sin⁡φ ) cot⁡θ+C
که ضرایب A ,B ,C را می توان بدست آورد.
حال می خواهیم همگنی و همسانگردی را از نگاه دیگری تعریف کنیم [5].
همگنی: یک فضا – زمان را می توان همگن نامید در صورتی که در آن یک حالت ایزومتری در انتقال بسیار کوچک از نقطه P به نقطه P’،که این دو نقطه در نزدیکی هم قرار دارند، برقرار باشد.
به عبارت دیگر بردار کیلینگ در نقطه P بتواند هر مقدار ممکن را بگیرد و بتوانیم در این نقطه nبردار مستقل خطی کیلینگ را انتخاب کنیم و با انتخاب مناسب در هر نقطه X دلخواه در نزدیکی Pبردار کیلینگ را نوشت.
〖lim〗┬(X→P)⁡〖ξ^((k) ) 〗 (X,P)=δ_i^k (k=1,2,….,n)
می توان با ادامه دادن این جابجایی های کوچک، از نقطه P به هر نقطه دلخواه P^’ رسید.
همسانگردی : فضا ـ زمان Mبه شرطی در نقطه داده شده Pهمسانگرد است که بردار کیلینگ ξ_i در همسایگی Pوجود داشته باشد بطوریکه ξ_i (P)=0 و ξ_(i;k) (P) فضا را به صورت یک تانسور پاد متقارن مرتبه دو در نقطه Pپوشش دهد.
این معادل این است که معادله کیلینگ برابر صفر شود.
ξ^l g_(mn,l)+ξ_(,m)^l g_ln+ξ_(,n)^l g_lm= 0
بنابراین باید نتیجه گرفت که اگر متریکی داشته باشیم که آن متریک به همراه بردارهای کیلینگ خود در معادله کیلینگ صدق کند، این فضا همگن و همسانگرد است و بالعکس.
1-4 متریک رابرتسون – واکر
با توجه به اصل کیهان شناختی، در مقیاس بسیار بزرگ ما جهانی همگن و همسانگرد را مشاهده می کنیم. همانطور که اشاره شد این همگنی و همسانگردی می تواند به لحاظ ریاضی مورد توجه قرار بگیرد. یکی از مدلهایی که می توان برای شکل کلی جهان و روند تحول آن متصور شد، یک فضای متقارن کروی است.
این فضای متقارن را می توان به صورت یک کره در نظر گرفت. همان طور که گفته شد همگنی و همسانگردی در حالت ایستا معنا دارد، یعنی در طول زمان و افزایش شعاع این همگنی و همسانگردی تغییر می کند. بنابراین می توان حالت دو بعدی را برای این کره در نظر گرفت که فقط θ و φ که زوایای قطبی و سمتی هستند تغییر می کنند. از آنجا که با دو بعد سر و کار داریم باید سه بردار کیلینگ داشته باشیم [6].
می توان نشان دادکه این سه بردار عبارتند از :
ξ_1^μ=(0 , 0 ,-sin⁡φ ,-cot⁡θ cos⁡φ )
ξ_2^μ=(0 , 0 ,〖 cos〗⁡φ, 〖-cot〗⁡θ sin⁡φ )
ξ_3^μ=(0 , 0 , 0 , 1 )
این بردارها خاصیت همسانگردی را تایید می کنند.
هم چنین می توان نشان داد که عنصر خطی برای این تقارن کروی به صورت زیر است :
〖ds〗^2=-e^2ν c^2 〖dt〗^2+e^2λ 〖dr〗^2+r^2 (〖dθ〗^2+〖sin〗^2 θdφ^2 )
حال برای یافتن متریک مورد نظر معادله کیلینگ را برای این مورد حل می کنیم
g_(μν,λ) ξ^λ+g_μλ ξ_( ,ν)^λ+g_λν ξ_( ,μ)^λ=0
به عنوان مثال برای ξ_3^μ داریم :
g_(μν,3)=0
و
∂/∂φ g_μν=0
برای μν=00 داریم:
g_00,2 (-sin⁡φ )+g_00,3 (-cot⁡θ cos⁡φ )=0
g_00,2 〖sin〗^2 φ=-g_00,3 cot⁡θ cos⁡φ sin⁡φ
با حل همه این معادلات سرانجام می توان به ماتریس زیر رسید :
g_μν=(■(■(g_00 (r,t)& g_01 (r,t)@g_10 (r,t)& g_11 (r,t))&■(0 &0@0 &0)@■(0& 0@0& 0)& ■(g_22 (r,t)& 0 @0&g_22 (r,t) 〖sin〗^2 θ)))
و عنصر خطی به صورت زیر نوشته می شود :
〖ds〗^2=-g_00 (r,t) c^2 〖dt〗^2+2g_01 (r,t)cdrdt+g_11 (r,t) 〖dr〗^2+g_22 (r,t)[〖dθ〗^2+〖sin〗^2 θdφ^2 ]
این عمومی ترین متریک برای یک فضای همسانگرد است .
همان طور که گفتیم بر اساس اصل کیهان شناختی فضا همگن است. در واقع اگر فضا حول یک نقطه همسانگرد باشد و تحت انتقال ناوردا باقی بماند همگن نیز خواهد بود.
حال بردارهای کیلینگ را برای چرخش می نویسیم [6] :
X_1=-z ∂/∂y+y ∂/∂z X_2=z ∂/∂x-x ∂/∂z X_3=-y ∂/∂x+x ∂/∂y
که در مختصات کارتزین نوشته شده است. برای مختصات قطبی کروی داریم[1] :
η_1^μ=(0 ,sinθcosφ , 1/r cosθcosφ ,- 1/r sinφ/sinθ )
η_2^μ=(0 ,sinθsinφ , 1/r cosθsinφ , 1/r cosφ/sinθ)
η_3^μ=(0 ,cosθ ,-1/r sinθ ,0 )
حال اگر معادله کیلینگ را در مورد بردارهای بالا بکارببریم داریم :
g_00,1=0 → g_00=g_00 (t)
g_22 (r,t)=A(t)r^2
g_11=1/r^2 g_22=A(t) , g_01=0
می بینیم که همه عناصر غیر قطری ماتریس g_μν صفر می شوند و در نهایت می توان ds را بدست آورد.
می توان نوشت[6] :
〖ds〗^2=-c^2 〖dt〗^2+a^2 (t)[〖dr〗^2+r^2 〖dθ〗^2+r^2 〖sin〗^2 θ〖dφ〗^2 ]
در این رابطه ، t یک زمان “ جهانی “ است برای کل خمینه فضا-زمان. عامل a(t) یک عامل انبساطی است که بر روی عنصر فضایی متریک عمل می کند.
برای تفسیر بهتر قسمت فضایی به روش زیر عمل می کنیم.
فضای چهار بعدی را در نظر می گیریم که :
〖(x^1)〗^2+〖(x^2)〗^2+〖(x^3)〗^2+〖(x^4)〗^2= b^2
که x^μ معرف همان مختصات کارتزی

مطلب مرتبط :   منبع پایان نامه ارشد دربارهپاسخگویان، فراوانی، میزان

Written by 

دیدگاهتان را بنویسید