تابع سود برای هر بازیگر به عنوان تابع هدف تعیین و بهترین پاسخ هر بازیگر با فرض پویائی و اطلاعات کامل تعیین می گردد، در این حالت تابع پاسخ بازیگران نامتقارن خواهد بود.
طرح و ارائه مدل
ابتدا تابع تقاضا را خطی، نزولی و تابع مقادیر تولید، مطابق رابطه (3.1) در نظر میگیریم:
(3.1)
که در آن داریم:
: ظرایب ثابت در تابع تقاضا
: قیمت در لحظه t
: تولید بهره بردار اول در دوره t
: تولید بهره بردار دوم در دوره t
با توجه به فرض برداشت در دو مرحله، مقدار تولید در زمان یک تابعی از مقدار برداشت دوره صفر و مقدار ذخایر و کشف ذخایر جدید برای هر بهره بردار خواهد بود، به گونه ای که برای هر بازیگر در دوره یک مقدار تولید مطابق روابط (3.2) و (3.3) خواهد بود.
(3.3)
(3.2)
که در آن داریم:
: ذخایر بهره بردار اول
: ذخایر بهره بردار دوم
: تولید بهره بردار اول در دوره 0
: تولید بهره بردار دوم در دوره 0
: تولید بهره بردار اول در دوره 1
: تولید بهره بردار دوم در دوره 1
با توجه به اینکه طرح دستیابی به ذخایر زیرزمینی به گونه ای است که به طور مثال اگر به چاه نفت دست یابند، مقدار مشخصی نفت در سال اولیه بدست خواهد آمد، اما این مقدار در سالهای آتی با نرخ ثابت نزولی تولید و استخراج خواهد شد، مگر آنکه با عملیات نگهداری ذخایر از طریق تزریق گاز یا عملیات افزایش فشار گاز، به حجم بیشتری از ذخایر دست یابند، لذا برای برای تابع هزینه هر بازیگر تابع هزینه با فرض عدم وجود هزینه ثابت و هزینه های فزاینده تولید، مطابق روابط (3.4) و (3.5) خواهد بود.
(3.5)
(3.4)
که در آن داریم:
: هزینه نهائی برای بازیگر اول
: هزینه نهائی برای بازیگر دوم
: هزینه برای بازیگر اول در دوره t
: هزینه برای بازیگر دوم در دوره t
در صورتی که ریسک تقاضا وجود داشته باشد و اثر آن تنها به جابجائی موازی منحنی تقاضا به راست یا چپ، در دوره پایانی باشد، می توان این اثر را به عنوان فاکتور نا اطمینانی بر روی تابع تقاضا بشکل زیر نشان داد:
با توجه به اینکه دوره یک به عنوان دوره پایانی فرض شده است و با فرض اینکه θ احتمال جابجائی منحنی تقاضا به راست و را مقدار این جابجائی را مقدار جابجائی به سمت چپ با احتمال )θ(1- فرض کنیم، برای تابع تقاضا در دوره 1 خواهیم داشت:
(3.6)
که در آن داریم:
: احتمال جابجائی منحنی تقاضا به راست
: احتمال جابجائی منحنی تقاضا به چپ
: مقدار جابجائی منحنی تقاضا به راست
: مقدار جابجائی منحنی تقاضا به چپ
با توجه به تابع تقاضا، هزینه های ارئه شده و همچنین فرض دو دوره بهره برداری می توان به تشکیل تابع سود برای هر یک از بازیگران مطابق روابط (3.7) و (3.8) پرداخت.
(3.7)
(3.8)
که در آن داریم: