با جایگذاری (2-15) در (2-17) داریم:
(2.18)
رابطه (2-18) بیان دیگری از نظریه ارزش هتلینگ است.
همچنین می توان نشان داد در صورتی که با در نظر گرفتن هزینه ها به صورت تابعی از استخراج تراکمی، به طوری که و باشد، قیمت های خالص (سود نهائی) در نرخی کندتر از r درصد هتلینگ افزایش می یابد، باید انتظار داشت که ارزشها کمتر از آنچه که اصل ارزش هتلینگ برآن دلالت دارد افزایش می یابد.
نظریه آدلمن
آدلمن معتقد است که ذخایر زیرزمینی در کتابهای مهندسی به مفهوم محصول نهایی سرمایه گذاری در جریان توسعه منابع زیر زمینی است. طرح دستیابی به ذخایر زیرزمینی به گونه ای است که به طور مثال اگر به چاه نفت دست یابند، مقدار مشخصی نفت در سال اولیه بدست خواهد آمد، اما این مقدار در سالهای آتی با نرخ ثابت نزولی تولید و استخراج خواهد شد، مگر آنکه با عملیات نگهداری ذخایر از طریق تزریق گاز یا عملیات افزایش فشار گاز، به حجم بیشتری از ذخایر دست یابند. استخراج یا تولید از این ذخایر تا زمانی ادامه خواهد یافت که ارزش محصول بدست آمده بیشتر از هزینه های جاری تولید باشد. هرگاه خالص قیمت به سمت صفر میل کند، آنگاه تولید کننده به مرز اقتصادی تولید دست می یابد، به عبارت دیگر تولید کننده به تولید بیشتری ادامه نخواهد داد. زیرا با زیان اقتصادی مواجه خواهد شد. ذخایر نفت و گازی که از محدوده اقتصادی به بعد استخراج نمی شود، همچنان در ذخایر باقی می مانند تا در آینده با پیشرفت های تکنولوژیک، مورد بهره برداری قرار گرفته و تولید آنها اقتصادی و سود آور خواهد شد.
منطق تولید کننده اقتصادی ان است که اگر ارزش فعلی خالص تولید یا بهره برداری ذخایر نفت و گاز کمتر از میزان سرمایه گذاری لازم جهت استخراج آن باشد، حفر چاه صورت نگیرد. اگر حتی تعلل و تأخیر در بهره برداری از منابع، موجب افزایش ارزش فعلی ذخایر می شود، استخراج به تأخیر افتد، حتی اگر ذخایر جدیدی به حجم اولیه افزوده نگردد. به عبارت دیگر، اگر با گذشت زمان و با پیشرفت های فنی، بتوان هزینه تولید را کاهش داد، منطقی تر آنست که تولید را در زمان فعلی به منظور کسب سود بیشتر در آینده به تعویق بیاندازیم.
فرض کنیم مقدار اولیه ذخیره زیرزمینی است که تا زمان T مورد بهره برداری قرار خواهد گرفت. نرخ تنزیل نیز برابر با محصول جاری تقسیم بر مقدار ذخیره است.
(2.19)
(2.20)
اگر T به سمت بی نهایت میل کند، آنگاه:
(2.21)
که در آن a، نرخ کاهشی ظرفیت تولید است.
ارزش ذخیره نفت خام یا گاز طبیعی معادل است با:
(2.22)
که در آن داریم:
V: ارزش ذخیره
i: نرخ تنزیل ارزش ذخیره
g: افزایش سالانه ارزش ذخایر
فرض بر آن است که:
به عبارت دیگر اگر خالص قیمت ذخیره نفت خام و گاز طبیعی، با نرخ تنزیل i افزایش یابد، آنگاه به عبارت دیگر رابطه (2-25) اینگونه خواهد بود:
اکنون فرض می کنیم i باشد، بنابراین همواره مثبت خواهد بود. بنابراین نسبت تابع صعودی از a اما با نرخ کاهنده خواهد بود. علاوه بر این، تمامی متغیر ها غیر از g برونزا می باشند که آن را به این ترتیب می توان محاسبه نمود:
(2.23)
:g انتظارات صنعت نفت و گاز از روند آتی قیمت ها می باشد.
همانگونه که انتظار می رود، g به طور سالیانه تعیین می شود و متغیری است غالبا منفی. تفاوت اصلی نظریه آدلمن و هتلینگ علیرغم وجود مشابهت هایی فراوان، در مقدار ذخیره یعنی R است. آدلمن معتقد است که R، مقدار نفت و گازی است که با سرمایه گذاری از طریق توسعه یا اکتشاف بدست می آید. در صورتی که هتلینگ آن را برونزا در طبیعت و مقداری ثابت در نظر می گیرد. آدلمن معتقد است که R را می توان با سرمایه گذاری در زمینه اکتشاف و توسعه افزایش داد. او معتقد است که ارزش ذخایر نفت و گاز مبادله شده، تابعی از حجم ذخایر نفت و گاز در طول زمان است.
نظریه پیکرینگ
اندرو پيكرينگ (2007) در مقاله خود به بررسي رابطه ميان ذخایر و استخراج، در صورتی که نرخ بهره برای بهره برداران ثابت باشد پرداخته و از ان جهت پیدا کردن رابطه میان ذخایر و مقدار استخراج استفاده نموده است. وی تابع تقاضا را خطی فرض نموده و وی بر اساس تشکیل تابع سود به عنوان تابع هدف بدست آمده است. سپس وی به حل معادلات در ساختارهای متفاوت از بازار می پردازد.
پيكرينگ تابع تقاضا را خطی، نزولی و تابع مقادیر تولید، مطابق رابطه (1) در نظر میگیرد:
(2.24)
که در آن داریم:
: ظرایب ثابت در تابع تقاضا
: قیمت در لحظه t
: تولید بهره بردار اول در دوره t
: تولید بهره بردار دوم در دوره t
با توجه به فرض برداشت در دو مرحله، مقدار تولید در زمان یک تابعی از مقدار برداشت دوره صفر و مقدار ذخایر و کشف ذخایر جدید برای هر بهره بردار خواهد بود، به گونه ای که برای هر بازیگر در دوره یک مقدار تولید مطابق روابط (3.2) و (3.3) خواهد بود.
(2.25)
(2.26)
که در آن داریم:
: ذخایر بهره بردار اول
: ذخایر بهره بردار دوم