K: قیمت انسداد، که نشان دهنده آن است که در صورت تقاضا صفر قیمت معادل با K خواهد بود.
a: ضریب کاهنده تابع تقاضا
با توجه به آنچه گفته شد و با استفاده از بهینه سازی پویا میتوان به تعیین مسیر استخراج و دوره زمانی استخراج پرداخت و لذا خواهیم داشت:
(2.5)
(2.6)
بازار رقابت كامل
اگر به جای آنکه تصمیم گیری ها توسط یک برنامه ریز اجتماعی عقلائی و دارای اطلاعات کامل گرفته شود، تصمیم گیری برای حداکثر کردن سود بر عهده بازار رقابت کامل گذاشته شود با چه مسائلی رو به رو خواهیم شد؟ تنها تفاوتی که بین تصمیم گیر اجتماعی و بازار رقابت کامل وجود دارد این است که در حالت دوم قیمت به عنوان عاملی برون زا در نظر گرفته شده و سایر شرایط یکسان می باشد.
با توجه به آنچه گفته شد، فرض کنید m بنگاه در بازار با رقابت کامل وجود دارند، از آنجا که تمامی بنگاه های حاضر در بازار با یک قیمت ثابت رو برو هستند و محدودیت ذخیره برای تمامی بازیگران به تفکیک وجود خواهد داشت، بایستی سود تنزیل شده در تمامی دوره ها زمانی مختلف یکسان باشد، چون در غیر این صورت با انتقال استخراج از یک دوره زمانی به دورهای دیگر می توان سود را افزایش داد. لذا داریم:
(2.7)
لذا برای هر یک از بازیگران خواهیم داشت:
(2.8)
(2.9)
حالت انحصاري
به همان دلائلی که در بازار رقابت کامل ذکر شد، در صورتی می توان به حل معادلات پرداخت که سود نهائی تنزیل شده در هر دوره زمانی یکسان باشد. لذا خواهیم داشت:
(2.10)
لذا برای هر یک از بازیگران با فرض تبانی خواهیم داشت:
(2.11)
(2.12)
همانطور که مشخص شده است، در حالت انحصار دوره زمانی استخراج طولانی تر شده و مقادیر تولید نسبت به بهینه اجتماعی و بازار رقابت کامل کمتر می باشد.
نظریه آپتن و میلر
آپتن و میلر در سال 1985 نظریه خود را برای یک بنگاه رقابتی اینگونه ارائه کردند که فرض کنیم مسئله پیش روی تولید کننده ذخیره تجدید ناپذیر که گیرنده قیمت p می باشد، حداکثر کردن ارزش فعلی سود حاصل از بهره برداری آن ذخیره می باشد. بنابراین داریم:
(2.13)
که در آن داریم:
: هزینه بهره برداری
میزان بهره برداری در زمان t
مجموع هاست، یعنی:
: قیمت داده شده بازار رقابتی در زمان t
r: نرخ تنزیل
N: زمانی است که تولید به پایان می رسد.
همانگونه که می دانیم هزینه کل استخراج در دوره t با افزایش میزان استخراج افزایش می یابد، بنابراین مثبت می باشد. همچنین نا منفی است و در صورتی مثبت خواهد بود که هر واحد افزایش اضافی در ذخایر زیرزمینی، استخراج آن پر هزینه تر خواهد شد.
و
(2.14)
قید پایان پذیر بودن بنگاه رقابتی به صورت زیر است:
(2.15)
که در آن داریم:
: مجموع ذخایر اثبات شده نفت و گاز
با این فرض که بازده تولید نسبت به مقیاس ثابت، MC=AC است، میتوان ادعا کرد که هزینه نهایی و هزینه متوسط برابر اند، لذا می توان نوشت و با جایگذاری این در رابطه (2-12) خواهیم داشت:
(2.16)
این رابطه را در رابطه زیر جایگزین می کنیم:
(2.17)